벤 다이어그램

3. 기본 개념 및 표현

벤 다이어그램은 닫힌 곡선(주로 원)을 사용하여 집합을 표현하고, 이 곡선들의 겹침을 통해 집합 간의 관계를 나타내는 그림이다. 각 곡선 내부의 점은 해당 집합의 원소를 나타내며, 곡선 외부의 점은 해당 집합에 속하지 않는 원소를 나타낸다.

3. 1. 집합 연산 표현

• '''교집합''': 두 집합에 공통으로 속하는 원소들의 집합이다. (A ∩ B) 예를 들어,

  

  에서 다리가 두 개이면서 날 수 있는 생물(예: 앵무새)은 두 집합 모두에 속하므로, 파란색 원과 주황색 원이 겹치는 영역, 즉 교집합에 해당한다.
• '''합집합''': 두 집합 중 적어도 한쪽에 속하는 모든 원소들의 집합이다. (A ∪ B) 예를 들어, 다리가 두 개이거나 날 수 있는 (또는 둘 다인) 모든 생물을 포함한다.
• '''차집합''': 한 집합에는 속하지만 다른 집합에는 속하지 않는 원소들의 집합이다. (A - B 또는 A ∖ B)
• '''여집합''': 전체 집합에서 특정 집합에 속하지 않는 원소들의 집합이다. (Aᶜ 또는 A')
• '''대칭차''': 두 집합 중 한쪽에만 속하는 원소들의 집합이다. (A △ B)

3. 2. 논리 연산 표현

논리 연산을 벤 다이어그램으로 나타내는 경우, 원은 논리 연산의 입력값을 나타내는 논리 변수에 대응하며, 원의 내부는 해당 변수의 값(진리값)이 참(1 또는 T)임을, 원의 외부는 거짓(0 또는 F)임을 나타낸다. 논리 연산의 출력값을 참으로 만드는 입력값의 조합에 해당하는 영역에 사선을 긋거나 색을 칠함으로써, 입력값과 출력값의 관계를 나타낸다. 예를 들어 논리곱 (AND) P ∧ Q를 벤 다이어그램으로 나타내면 아래 그림과 같다. 이는 집합 ''A''와 집합 ''B''의 교집합 ''A'' ∩ ''B''를 나타내는 벤 다이어그램과 외형은 같지만, 논리 연산 P ∧ Q를 나타내는 것으로 간주할 때, 원은 집합을 의미하는 것이 아니라는 점에 주의해야 한다.

• 왼쪽 원: P
• 오른쪽 원: Q
• 영역: 참
• 백색 영역: 거짓

논리합 (OR)	논리 부정 (NOT)	논리곱의 부정 (NAND)
P ∨ Q	¬P	¬(P ∧ Q)
논리합의 부정 (NOR)	$P\; \backslash leftrightarrow\; Q$	함의 (IMP)
¬(P ∨ Q)	(P ∧ Q) ∨ ¬(P ∨ Q)	(P → Q) ⇔ (¬P ∨ Q)
배타적 논리합 (XOR)
(P ∨ Q) ∧ ¬(P ∧ Q)

아래 그림은 집합 연산을 나타내는 경우의 벤 다이어그램 표현 방식에 대응하는 표기이며, 검은색 영역은 "해당 입력값의 조합이 발생하지 않음"을 나타낸다.

• 왼쪽 원: P
• 오른쪽 원: Q

P ⇔ Q	P ⇒ Q
$(P\; \backslash leftrightarrow\; Q)\; \backslash Leftrightarrow\; \{\backslash rm\; true\}$	(P → Q) ⇔ true

4. 확장

벤 다이어그램은 보통 2개나 3개의 집합을 나타내지만, 4개 이상의 집합을 표현하는 것도 가능하다. 4개의 집합을 나타낼 때는 타원을 사용하거나, 구의 표면을 분할하는 방식을 사용할 수 있다.

5개 이상의 집합을 나타내는 벤 다이어그램은 더욱 복잡한 형태를 가지게 되며, 이 과정에서 다이어그램의 대칭성 일부를 잃게 된다. 존 벤은 타원을 사용하여 4개의 집합을 표현하는 벤 다이어그램을 고안했다.

존 벤은 또한 3개의 원으로 시작하여 집합을 추가할 때마다 이전 곡선들과 교차하는 곡선을 추가하는 방식으로, 집합 개수에 제한 없이 벤 다이어그램을 구성하는 방법을 제시했다.

4. 1. 에드워즈-벤 다이어그램

5. 관련 개념

오일러 다이어그램은 벤 다이어그램과 유사하지만, 모든 가능한 관계를 반드시 포함하지는 않으며 주어진 문맥에서 실제로 가능한 영역만 포함한다. 벤 다이어그램에서 음영 처리된 영역은 빈 영역을 나타낼 수 있지만, 오일러 다이어그램에서는 해당 영역이 다이어그램에서 누락된다.

존스턴 다이어그램은 벤 다이어그램을 진리표 형태로 나타낸 것이다.

R-다이어그램은 존 F. 랜돌프가 고안한 집합 표현 방법이다.

6. 활용 및 의의

벤 다이어그램은 집합, 확률, 논리, 통계 등 다양한 분야의 개념을 시각적으로 명확하게 표현하고 이해하는 데 도움을 준다.^[2] 문제 해결 과정에서 정보를 구조화하고 분석하는 도구로 활용될 수 있다. 교육 현장에서는 집합론, 논리 연산 등을 가르치는 데 유용하게 사용된다.

논리 연산을 벤 다이어그램으로 나타낼 수 있다. 벤 다이어그램은 본래 집합 간의 관계를 나타내는 것이며, 논리 연산에 벤 다이어그램을 사용하는 것은 본래의 사용법은 아니지만, 현실적으로는 집합 대수와 논리 연산이 부울 대수로서 동일하기 때문에, 논리 연산을 시각적으로 알기 쉽게 표현하는 방법으로 벤 다이어그램이 자주 사용된다.

논리 연산을 벤 다이어그램으로 나타내는 경우, 원은 논리 연산의 입력값을 나타내는 논리 변수에 대응하며, 원의 내부는 해당 변수의 값(진리값)이 참(1 또는 T)임을, 원의 외부가 거짓(0 또는 F)임을 나타낸다. 논리 연산의 출력값을 참으로 만드는 입력값의 조합에 해당하는 영역에 사선을 긋거나 색을 칠함으로써, 입력값과 출력값의 관계를 나타낸다. 예를 들어, 그림 4는 왼쪽 원을 P, 오른쪽 원을 Q로 하여, P와 Q의 논리곱 (AND) P ∧ Q를 벤 다이어그램으로 나타낸 것이다. 이는 집합 ''A''와 집합 ''B''의 교집합 ''A'' ∩ ''B''를 나타내는 벤 다이어그램과 외형은 같지만, 논리 연산 P ∧ Q를 나타내는 것으로 간주할 때, 원은 집합을 의미하는 것이 아니라는 점에 주의해야 한다.

아래 그림은 집합 연산을 나타내는 경우의 벤 다이어그램 표현 방식에 대응하는 표기이며, 검은색 영역은 "해당 입력값의 조합이 발생하지 않음"을 나타낸다.

대중문화에서도 벤 다이어그램은 밈 등에서 활용되며, 복잡한 관계를 간결하게 표현하는 데 사용된다.^[2]

참조

_[1] 간행물 The Venn Behind the Diagram Institute of Mathematics and its Applications 2023-04
_[2] 뉴스 Jesus, Karaoke, And Serial Killers: The Funniest Venn Diagrams The Web Has To Offer https://www.huffpost[...] 2024-10-02
_[3] 뉴스 Scott Walker Gets Mercilessly Mocked By Twitter Users Over Venn Diagram Fail https://www.huffpost[...] 2024-10-02